В 1944-1947 годах учился в студии при Омском драматическом театре.

Свои первые шаги на подмостках сцены в качестве профессионального актёра А. М. Преснецов сделал в 1945 году в Омском областном драматическом театре, в котором прослужил до 1948 года. В 1948-1949 годах учился на вокальном отделении музыкального училища при Московской консерватории им. П.И. Чайковского. В 1949—1950 годах — артист Московского государственного Камерного театра. В 1950—1954 годах — в труппе Первого драматического театра Группы советских войск в ГДР (Потсдам). Там же начал сниматься в кино.

В 1954-1956 годах — актер Московского театра им. М.Н. Ермоловой. С 1957 по 1962 годы служил в Московском драматическом театре. В 1962—1966 годах вновь играл в Первом драматическом театре Группы Советских войск в Германии. В 1966 году Алексей Мефодьевич окончательно остановил свой выбор на Московском академическом театре имени Владимира Маяковского, в котором прослужил до 1987 года.