Окончив школу, работал один год осветителем на «Мосфильме», а затем четыре года чертёжником-конструктором в проектных институтах «Промэнергопроект» и «Гипромолоко». После этого поступил во ВГИК (курс Б. В. Бибикова). Уже на 3-м курсе дебютировал в кино, сыграв в фильме «Память сердца» (1958) Татьяны Лиозновой. После окончания ВГИКа был принят в труппу театра имени М. Н. Ермоловой. Одновременно играл в кино, где его наиболее заметные роли в фильмах «Друг мой, Колька!» (хулиган Исаев), «Знакомьтесь, Балуев!» (Крохалёв), «Пока фронт в обороне» (военный переводчик Русанов).
После смерти матери в 1962 году, оставшись один, актёр стал злоупотреблять алкоголем. В результате в начале 1970-х годов он был уволен из театра Ермоловой. После этого Косухин соглашался на любые роли, подрабатывал натурщиком, короткое время в середине 1980-х годов играл в «Театре-88».