После окончания средней школы заочно учился в Харьковском институте инженеров железнодорожного транспорта. Потом окончил Харьковское училище культуры по специальности «дирижёр-хоровик». Будучи студентом училища, принимал участие в дипломных спектаклях режиссёрского факультета Харьковского института искусств имени И. П. Котляревского. В 1995 году Алексей и сам стал студентом актёрского факультета этого института (курс Е. В. Лысенко), а в 1999 году — его выпускником.

Уже на втором курсе студент Фатеев получил приглашение в Харьковский русский драматический театр имени А. С. Пушкина, где за девять лет работы (1997—2006) сыграл множество интересных ролей, в числе которых роль Арбенина в «Маскараде» и Джорджа Пигдена в «Номере 13», за которую был удостоен муниципальной премии имени И. А. Марьяненко (2003). Одновременно с работой в театре имени А. С. Пушкина играл в Харьковском театре «Новая сцена» (2001—2006).

В 2006 году Алексей принимает решение переехать в Москву, где становится артистом Московского академического театра имени Владимира Маяковского и сразу получает главную роль — барина Миловидова — в спектакле Ю. В. Иоффе «На бойком месте» (по одноимённой пьесе А. Н. Островского), который выпускает в 2007 году. Постепенно в личный репертуар Алексея входят такие роли, как слуга Осип в «Ревизоре» Н. В. Гоголя (режиссёр — С. Н. Арцибашев), Арнольд в «Круге» С. Моэма (режиссёр — Татьяна Ахрамкова), Андрей Прозоров в «Трёх сёстрах» А. П. Чехова (режиссёр — С. Н. Арцибашев).

К настоящему времени на счету Алексея десятки театральных работ. Из текущего репертуара Московского академического театра имени Владимира Маяковского он занят в восьми спектаклях и репетирует ещё одну постановку, премьера которой ждёт зрителей в следующем театральном сезоне. В семи спектаклях играет главные роли.

Алексей успешно работает и в кино. В 2012 году телевидение показало сразу две премьеры с его участием: 16 апреля на канале «Россия 1» стартовал показ многосерийного фильма Эльёра Ишмухамедова «М.У.Р.», а 11 июня на российском «Первом канале» вышла первая серия «Счастливого билета» (режиссёр — Виталий Москаленко), где Алексей сыграл главную роль — Илью Дронова.

Помимо работы в кадре, Алексей Фатеев давно и успешно работает за кадром, озвучивая мультипликационных и киноперсонажей, дублируя роли иностранных артистов. Его голосом говорят майор Монограмм из мультсериала «Финес и Ферб» (2009) и полнометражного мультфильма «Финес и Ферб: Покорение второго измерения» (премьера в России состоялась 21 апреля 2012 года), которые Алексей озвучивал на студии «SDI Sun Studio Russia» в 2009 году (1 сезон мультсериала) и на студии «Невафильм» в 2010—2011 гг. (2 сезон мультсериала и мультфильм) вместе с коллегами по театру имени Владимира Маяковского, мистер Эванс — отец главной героини фильма «Шикарное приключение Шарпей» (2011) и Костя Суворин — главный герой сериала «Брак по завещанию. Возвращение Сандры» (2012), роль которого исполнил Павел Делонг.