В 1956 году окончил Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина и вступил в труппу Театра киноактёра, на сцене которого играл до 1962 года, в том же году перешёл в Московский драматический театр имени Пушкина, а в 1979 — в Малый театр.

В Малом театре А. Кочетков сыграл несколько десятков ролей. Он создавал образы в пьесах Островского, Гоголя, Толстого, Шиллера. Последняя работа артиста — спектакль по водевилям Антона Павловича Чехова «Свадьба, свадьба, свадьба», на репетицию которого он не пришёл.

Много работал Афанасий Кочетков и в кинематографе, особенно он известен как исполнитель роли пролетарского писателя Максима Горького, которого он сыграл в семи фильмах.
Известные работы актёра — роль Герасима в фильме «Муму», а также роль К. Черненко в телесериале «Брежнев» (2005).