Анатолий Сливников родился в деревне Никаново Чагодощенского района Вологодской области, в крестьянской семье. В начале 1960-х годов его семья переезжает в деревню Кисельня Волховского района Ленинградской области. После окончания школы Анатолий поступает в Всеволожский сельскохозяйственный техникум, где активно участвует в самодеятельности, играет в ВИА.

Вернувшись после учёбы домой, решает стать актёром и по направлению сельской администрации поступает в Ленинградский государственный институт культуры имени Н. К. Крупской, который заканчивает в 1978 году, после чего три года работает в Кокчетавском областном русском драматическом театре. 17 ноября 1978 года он женится на своей однокурснице Валентине.
Летом 1981 года актёр возвращается в Ленинград. На студии Ленфильм он встречается с режиссёром Алексеем Германом, который приглашает его сниматься в фильме «Мой друг Иван Лапшин». Анатолий снимается ещё в нескольких фильмах, становится узнаваем, и после роли в фильме «Блондинка за углом» его приглашают на работу в Ленинградский государственный молодёжный театр на Фонтанке, где он трудится около восьми лет, в том числе играет несколько главных ролей. Помимо этого активно продолжает сниматься в кино. Всего за жизнь Анатолий Михайлович принял участие в создании более семидесяти кинокартин и телефильмов.
Летом 1985 года — Анатолий Михайлович становится участником культурной программы XII Всемирного фестиваля молодёжи и студентов в Москве.
В январе 1989 года — актёр принят в члены Союза театральных деятелей РСФСР (ныне — Союз театральных деятелей РФ).
С июня 1992 года — член конфедерации Союзов кинематографистов.
С 1993 года — член Гильдии актёров кино Санкт-Петербурга.
Актёр скончался 29 июня 2005 года от крупозного воспаления лёгких. Похоронен на кладбище в деревне Кисельня Волховского района.