Евгений Леонов родился в Москве в семье Павла Васильевича и Анны Ильиничны Леоновых. Отец работал инженером на авиазаводе, мать была домохозяйкой. Евгений был вторым ребёнком в семье: брат Николай был старше его на два года. Когда началась Великая Отечественная война, Евгений окончил только седьмой класс. По совету родителей устроился учеником токаря на авиазавод.

Осенью 1941 года Евгений поступил в Авиационный техникум им. Серго Орджоникидзе. На третьем курсе ушёл из техникума и поступил на драматическое отделение Московской экспериментальной театральной студии, которой руководил Ростислав Захаров, известный балетмейстер Большого театра. В 1947 году окончил студию и был принят в Московский театр Дзержинского района. С 1948 года выступал на сцене Театра им. Станиславского.

В 1954 году Леонов снялся в своей первой эпизодической роли в картине Владимира Немоляева «Морской охотник».

Популярность Евгений Леонов приобрёл после выхода на экраны фильма «Полосатый рейс».

В 1988 году во время гастролей в Германии в результате обширного инфаркта пережил клиническую смерть. Перенёс экстренную операцию коронарного шунтирования. В коме находился 16 суток. Вернулся к актёрской деятельности через 4 месяца.

Евгений Леонов был женат на Ванде Владимировне Стойловой, много лет работающей в литературной части театра «Ленком». Единственный сын, Андрей, родившийся в 1959 году, — известный актёр театра и кино.

Евгений Павлович Леонов скончался 29 января 1994 года, на 68-м году жизни, после отрыва тромба, собираясь на спектакль «Поминальная молитва». Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.