Евгений Весник родился 15 января 1923 года в Петрограде в семье Якова Ильича и Евгении Эммануиловны Весник. Затем семья перебралась в Кривой Рог.

Отец Евгения Весника — Яков Весник, белорус по происхождению — был видным деятелем советской промышленности и личным другом Г. К. Орджоникидзе; в 1930-е годы работал начальником строительства и первым директором завода «Криворожсталь». После загадочной смерти Орджоникидзе 18 февраля 1937 года последовала расправа над друзьями и родственниками наркома. Я. И. Весник был арестован 10 июля 1937 года и 17 ноября расстрелян.

Мать (в девичестве Немечек) имела чешские корни, познакомилась с будущим мужем в госпитале, где Яков лечился после ранения, а она работала медсестрой. После расстрела мужа была отправлена в ссылку в Казахстан. Евгений попал в детский дом, откуда вскоре бежал.

Ещё до Великой Отечественной войны он поступил в Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина.

В 1941 году Евгений ушёл на фронт, окончил артиллерийское училище в звании младшего лейтенанта, участвовал в Великой Отечественной войне, был командиром огневого взвода 1-й гвардейской корпусной артиллерийской бригады, гвардии лейтенант. Участник штурма Кёнигсберга. Был награждён двумя медалями «За отвагу», орденами Красной Звезды и Отечественной войны 2 степени, медалями «За победу над Германией».

В 1948 году окончил театральное училище имени М. С. Щепкина и был принят в драматический театр им. К. С. Станиславского.

С 1954 года служил в театре Сатиры, с 1963 по 1992 годы — в труппе Малого театра.

Кинодебют состоялся в 1955 году. Кроме актёрской работы, в биографии Евгения Весника были режиссёрские работы в театре. Также он написал ряд сценариев для радио и телевидения.

Состоял в Союзе кинематографистов, Союзе театральных деятелей, Союзе писателей.

В последние годы у Евгения Весника были проблемы со здоровьем. В 2005 году он перенёс пневмонию, а 7 апреля 2009 года у него случился инсульт. Через три дня артист скончался в больнице. Похоронен 14 апреля на Троекуровском кладбище в Москве.

Евгений Яковлевич Весник был четырежды женат.

Первая жена — Клавдия Ивановна Шинкина (1925), окончила училище им. Щепкина.

Вторая жена (1958—1965) — гримёр Театра сатиры Ника Дмитриевна Прохорова (ур. Демидова) (1936—2008), сын — Евгений (род. в 1959 году), внуки — Евгений Евгеньевич (род. в 1983 году) и Филипп Евгеньевич (род. в 1993 году).

Третья жена (1966—1968) — секретарь Управления дипломатического корпуса МИД Галина Степановна Зенкина (1926—1992), сын — Антон (род. в 1967 году).

Четвёртая жена (1971-2009) — Сусанна (Нонна) Гавриловна Каменева (1930), бывшая жена его фронтового друга Нила Каменева (дочь от первого брака — Марина (род. в 1957 году).

Гражданский брак — Ляля Чёрная (1909—1982)