Родился в городе Форт-Белвор, штат Виргиния, в семье Кэтрин Бёрк и Уильяма Уэлша. У него был брат Дерек и сестра Маккена Маркс. Кристофер окончил Университет Далласа.

Свою театральную карьеру Уэлш начал в Сиэтле, где он также был фронтменом группы Ottoman Bigwigs (группа распалась после переезда Кристофера в Нью-Йорк). На Бродвее Уэлш дебютировал в 1997 году в спектакле London Assurance, и быстро обратил на себя внимание (газета The New York Times назвала его дебют «сенсационным»). За свою игру он был номинирован на Drama Desk Award, а за роль в спектакле «Трамвай „Желание“» был награждён премией Obie.

В 2002 году сыграл роль преподобного Сэмюэля Пэрриса в спектакле по пьесе Артура Миллера «Суровое испытание», а также играл в британском спектакле «Торжество», поставленному по одноимённому датскому фильму.

В кино снялся в более чем 30 фильмах и сериалах, таких как «Степфордские жёны» (2004), «Переводчица», «Война миров» (оба 2005), «Клан Сопрано», «Ложное искушение» (оба 2006), «Однажды в Голливуде», «Нью-Йорк, Нью-Йорк» (оба 2008), «Закон и порядок» (2008—2010), «Линкольн» (2012), Кремниевая долина (2014) и других. Его роли были в основном эпизодическими, но запоминающимися.

Уэлш был женат на Эмме Робертс, у них родилась дочь Джун Харпер.

Умер от рака лёгкого 2 декабря 2013 года в больнице Санта-Моники, штат Калифорния.