Лев Дуров родился в Москве, в Лефортове, происходит из знаменитой династии российских цирковых артистов — дрессировщиков и клоунов. Хотя непосредственно его родители к цирку отношения не имели: отец, Константин Владимирович Дуров (1895—1973) был начальником АХО «Союзвзрывпром», Дурова Валентина Игнатьевна (1903—1973) — научным сотрудником Центрального Государственного Военного исторического архива МВД СССР. С цирком, а точнее, со знаменитым Уголком Дурова, была непосредственно связана сестра отца, Анна Владимировна Дурова-Садовская (1900—1978), жена актёра Малого театра Прова Садовского.

В школьные годы Лев Дуров занимался в драматической студии при Дворце пионеров Бауманского района, где его педагогом был С. В. Серпинский. После окончания средней школы поступил в Школу-студию МХАТ, на курс Георгия Герасимова и Сергея Блинникова. Среди преподавателей были старые МХАТовцы: Василий Топорков, Павел Масальский, Александр Карев, Иосиф Раевский. Дуров был одним из любимых учеников Блинникова.

В 1954 году после окончания Школы-студии МХАТ директор Центрального детского театра Шах-Азизов пригласил Дурова в свою труппу. Он согласился и в сентябре пришёл на первый в своей жизни сбор труппы, где встретился с Анатолием Эфросом, с которым в дальнейшем не расставался почти 30 лет. В Центральном детском театре он проработал около 10 лет. Когда А. В. Эфрос перешёл в Театр им. Ленинского комсомола, он взял с собой нескольких актёров, в том числе и Льва Дурова. В 1963—1967 годах Дуров выступал на сцене Театра им. Ленинского комсомола, когда же, в 1967 году, Эфрос был отстранён от руководства «Ленкомом» и переведён в качестве очередного режиссёра в Театр на Малой Бронной, ему разрешили взять с собой 10 артистов, и Дуров ушёл вместе с ним. Этому театру, в котором после окончания в 1978 году Высших режиссёрских курсов при ГИТИСе Дуров успешно сочетал актёрскую работу с режиссёрской, он оставался верен до последнего дня; в 2003-2006 годах был главным режиссёром Театра на Малой Бронной.

В кино Лев Дуров начал сниматься в 1954 году и сыграл за свою жизнь более 200 ролей; много работал на телевидении, в том числе участвовал в съёмках телепередачи «Маркиза». В 1996 году как художественный руководитель он выпустил курс студентов в Школе-студии МХАТ.

В 1999 году вышла книга Льва Константиновича Дурова «Грешные записки». В 2008 году вышли две книги: «Байки из Закулисья» и «Байки на бис» (в серии «Актёрская книга»).

До последних дней Лев Дуров параллельно с работой в своём театре участвовал в спектаклях «Школы современной пьесы» у режиссёра Иосифа Райхельгауза.

Лев Дуров на презентации книги «Байки на бис», август 2008
Лев Дуров был женат на актрисе Ирина Кириченко (1931—2011); их дочь, родившаяся в 1959 году, Екатерина Дурова, также стала актрисой.

Актёр умер в ночь на 20 августа 2015 года в реанимации Первой Градской больницы после тяжёлой, продолжительной болезни. 24 августа, после прощания в театре на Малой Бронной, похоронен на Новодевичьем кладбище.

По собственным словам, принципиально не был членом КПСС, характеризовал советскую идеологию как «иллюзорную, фальшивую, но очень сильную», а Сталина — как «самого страшного человека на свете». Выступал с осуждением войн в Афганистане, Чечне, Грузии, подписывал открытые письма в защиту телеканала НТВ в 2001 и издательства «Эксмо» в 2003 году.