Ханна родилась 1 июля 1989 года в Бристоле, Великобритания, в семье университетских преподавателей. Карьеру актрисы начала в 2007 году, снявшись в молодёжном телесериале «Молокососы» в роли Кэсси, чудаковатой, страдающей анорексией девушки. Ханна узнала о кастинге, проводимым для сериала, в местном театре, который она посещала, и решила попробовать принять в нём участие. В результате она и Эйприл Пирсон, исполнительница роли Мишель, стали первыми актрисами, утвержденными для сериала.

После «Молокососов», в мае 2008 года Мюррей дебютировала как театральная актриса в роли Мии в пьесе «That Face». В том же году она исполнила небольшую роль в чёрной комедии «Залечь на дно в Брюгге», однако при монтаже сцены с её участием вырезали из фильма.

В 2010 году Ханна снялась в одной из главных ролей в триллере «Чат» (реж. Хидео Наката) и в драме «Чрево» (реж. Бенедек Флигауф). В этом же году она появилась в двух эпизодах британского телесериала «Above Suspicion 2: The Red Dahlia».

В 2012 исполнила роль Джилли во втором сезоне сериала «Игра престолов».

В 2013 году, после пятилетнего перерыва, Ханна вновь появилась в сериале «Молокососы» в роли Кэсси. Она снялась в двух эпизодах 7 сезона, повествующих о дальнейшей жизни Кэсси.