Окончила Школу академической русской драмы при Александринском театре, в котором играла до 1928 года.

В 1928—1933 годах — актриса Харьковской оперетты.

В 1933—1941 годах работала в Ленинградском мюзик-холле под руководством Леонида Утёсова и Театре эстрады и миниатюр под руководством Аркадия Райкина.

В 1941—1945 годах — во фронтовом ансамбле оперетты, выезжала на передовую, где дала около 3000 выступлений.

С 1945 года — актриса Ленинградского государственного театра музыкальной комедии.

В кино снималась с 1931 года. Одной из первых ролей должна была стать небольшая роль в фильме «Путёвка в жизнь» вместе с Риной Зелёной, однако из-за производственного брака эпизод был сокращён. Первая заметная роль — Мария Михайловна в комедии «Укротительница тигров». Самой известной ролью Богдановой-Чесноковой в кино стала Каролина в оперетте «Мистер Икс», а самой популярной — Амалия, в экранизации «Летучей мыши» (крошечный эпизод «охоты на мужчин» и «стрельбы глазами» с Ольгой Волковой). Ей довелось дважды исполнить роль Елены Станиславовны Боур в телеспектакле и фильме «Двенадцать стульев», Леонид Гайдай специально звонил коллеге режиссёру Александру Белинскому с просьбой пригласить Богданову-Чеснокову в свой фильм. Также дважды сыграла волшебницу Канимуру в постановках «Захуда́лое короле́вство» 1967 и 1978 годы.
Умерла 17 апреля 1983 года в Ленинграде, похоронена на Серафимовском кладбище.

О творчестве актрисы снят документальный фильм «Божественная Гликерия».