Родился и вырос в Москве. Его мать — русская, а отец имеет грузинские и испанские корни. Родители планировали назвать сына Рокки Джуниор, но остановились на имени Гела. Фамилия актёра — Месхи, является грузинской.

Гела Месхи о себе: «Я родился в Москве, вырос в Москве, считаю себя русским. Очень давно не был в Грузии из-за конфликта с Россией, хотя очень люблю эту интересную страну. В Москве принято считать, что грузины похожи на чеченцев или на азербайджанцев и работают на рынках. Настоящие грузины — рыжеволосые, голубоглазые, светлые. И у них потрясающие традиции. Например, угощать своих гостей: не попробовать что-то — значит обидеть хозяина дома. Я вообще не люблю, когда говорят про национальность. В каждой нации, я считаю, есть хорошие и есть плохие люди. И русские есть прекрасные, замечательные, а есть плохие».

В детстве Гела мечтал стать футболистом, но к окончанию школы остановился на профессии актёра и поступил в Школу-студию МХАТ, на курс К. А. Райкина, которую и окончил в 2009 году. Во время учёбы Месхи участвовал во многих постановках учебного театра МХТ, был занят в спектаклях: «Валенсианские безумцы», «Молчание — золото», «Похищение Собинянинова», «Гамлет». Сейчас Гела постоянный участник труппы Театра имени Станиславского, в котором задействован в спектаклях «Троянской войны не будет», «7 дней до потопа» и «Ромео и Джульетта».

Сразу после окончания школы-студии МХАТ, актёр начал сниматься в главной роли в кинофильме Юрия Кары «Гамлет. XXI век», снятом по мотивам пьесы Уильяма Шекспира. Режиссёр фильма выбрал его среди студентов МХАТ. За исполнение этой роли по итогам 8-го фестиваля кино и театра «Амурская осень» в Благовещенске, Гела получил приз за «Лучшую мужскую роль в кино».

В 2010 году в российский прокат вышли фильмы с участием Месхи: лента Мгера Мкртчяна «Взрослая дочь, или тест на…» и картина «Комедианты», снятая Александром Галибиным и Игорем Волосецким. Особую популярность Геле принес сериал, снятый Рамилем Сабитовым, «Физика или химия», повествующий о буднях современной школы, премьера которого состоялась в августе 2011 года. Гела исполнил в нём роль Алекса Вайнштейна, старшеклассника, испытывающего симпатии к учительнице Ирине Некрасовой.

В 2013 году Гела сыграл главную роль в телевизионном фильме «Сын отца народов», посвящённом трагической судьбе Василия Сталина, любимого сына советского руководителя.

Об участии в фильме актер сказал: « За время съёмок от эмоциональных потрясений, которые я переживал вместе с моим героем, я поправился на десять килограммов. Кроме того, за время съёмок режиссёр не раз ставил передо мной, казалось бы, невыполнимые задачи. Я впервые сел за руль автомобиля. А у меня тогда даже прав не было. Но благодаря консультанту по вождению я справился с задачей.